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初中二次函數

二次函數
二次函數
i.定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點p(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點a(x1,0)和b(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
iii.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像,
可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點p,坐標為
p[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ=b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x=-b加減根號內b2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除2a
v.二次函數與一元二次方程
特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2;+bx+c,
當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2;+bx+c=0
此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

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1.二次函數y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

解析式
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c

頂點坐標
(0,0)
(h,0)
(h,k)
()

對稱軸
x=0
x=h
x=h
x=

當h>0時,y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象;
因此,研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=,頂點坐標是().
3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤時,y隨x的增大而減??;當x≥時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤時,y隨x的增大而增大;當x≥時,y隨x的增大而減?。?br>4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
(2)當△=b2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點a(x1,0)和b(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x2-x1|=.
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=時,y最小(大)值=.
頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

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